Vektoren sind Objekte, welche einen Betrag und einen Richtungssinn haben. Sie können als Pfeile dargestellt werden. Dabei ist die Länge des Pfeils der Betrag und die Pfeilspitze der Richtungssinn. In der Formelschreibweise werden Vektoren mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet und durch einen Pfeil über der Vektorgröße markiert. Vektoren können auch durch den Anfangspunkt und Endpunkt beschrieben werden, dabei wird der Anfangspunkt und der Enpunkt nacheinader notiert und durch einen Pfeil über den Buchstaben markiert.

Übung 01:

Ist der Vektor \( \overrightarrow{OA} \) gleich dem Vektor \( \overrightarrow{AO} \)

Ein Vektor wird in einem kartesischen Koordinatensystem durch seine Komponeten in der Komponentenschreibweise beschrieben. Die Komponenten sind dabei die x-Werte bzw. y-Werte im kartesischen Koordinatensystem. Dabei liegt der Anfangspunkt des Vektors (in Bsp. unten O) beim Ursprung und der Endpunkt (in Bsp. unten A) beliebig.
Um den Vektor von einem Punkt zu unterscheiden, werden die Vektoren mit einem Tupel beschrieben. Das ist eine grosse, runde Klammer, in der die Komponenten übereinander geschrieben werden. Oben liegt immer die x-Komponenten und unten die y-Komponente. Mit der Komponentenschreibweise kann man alle Vektoren eindeutig beschreiben.

Probieren Sie es selber und verschieben Sie den Punkt A und beobachten Sie was mit den Komponenten geschieht.

Ein Ortsvektor hat den Anfangspunkt immer im Ursprung des Koordinatensystems. Jeder Punkt einer Ebene kann durch einen Ortsvektor beschrieben werden. Der Ortsvektor ist jedoch kein Punkt, sondern ein Vektor der beim Ursprung startet und genau beim beschriebenen Punkt endet (siehe: oberes Beispiel).
Ein Vektor muss nicht im Ursprung des Koordinatensystems starten. Ein freier Vektor kann bei einem beliebigen Punkt auf der Ebene starten und darf frei verschoben werden, solange man weder die Länge noch den Richtungssinn des Vektors verändert. Die Komponenten bleiben somit konstant und können mit folgender Formel berechnet werden:

Komponente der Koordinate = Endpunktkoordinate - Anfangspunktkoordinate

Beispiel (siehe unten): \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}3-1\\1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right) \)

Verschieben Sie den freien Vektor \( \vec{a} \) und rechen Sie nach ob die Komponenten tatsächlich konstant bleiben.

Übung 02:

Berechnen Sie die Komponenten der Vektoren \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) und \( \vec{d} \) und schreiben Sie sie mit einem Tupel.
Welche sind freie Vektoren?

Um in Zukunft die Ortsvektoren von den freien Vektoren zu unterscheiden, beschreiben wir ein Ortsvektor mit \( \vec{r}. \) Um die Ortsvektoren untereinander zu unterscheiden, benutzen wir die Indexschreibweise: \[ \vec{r}_a \ne \vec{r}_b\ne \vec{r}_c \]

Übung 03:

Welche dieser Vektoren sind Ortsvektoren?

Die Strecke zwischen dem Anfangspunkt (O) und dem Endpunkt (A) eins Vektors wird Betrag genannt. Der Betrag wird mit zwei vertikalen Linien neben dem Vektor symbolisiert \( \overline{AB}=|\vec{a}|. \ \)

Übung 04:

Ist der Betrag des Vektors \( \overrightarrow{OA} \) gleich dem Betrag des Vektors \( \overrightarrow{AO} \ ? \)

Der Betrag eines Vektors kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras anhand seiner beiden Komponenten berechnet werden:

\[ \overrightarrow{OA}=\vec{a}=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) \rightarrow \overline{OA}=|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2} \]

Übung 05:

Berechnen Sie den Betrag der folgenden Vektoren: \[ \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right), \ \vec{b}=\left(\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right), \ \vec{c}=\left(\begin{array}{c}0\\-1\end{array}\right), \ \vec{d}=\left(\begin{array}{c}3\\-2\end{array}\right) \]

Ein freier Vektor kann durch Beibehalten seiner Länge und Richtung parallel auf der Ebene verschoben werden, ohne dass sich die Werte seiner Komponenten ändern. Dies kann genutzt werden, um zwei Vektoren zeichnerisch zu addieren.
Fügt man an einen Vektor \( \vec{a} \) einen zweiten Vektor \( \vec{b} \) durch eine passende Verschiebung (Translation) so an, dass der Anfangspunkt des zweiten Vektors mit dem Endpunkt des ersten Vektors übereinstimmt, dann erhält man den Summenvektor \( \vec{c}=\vec{a}+\vec{b} \) , indem man den Anfangspunkt des ersten Vektors mit dem Endpunkt des zweiten Vektors verbindet.

Verschieben Sie wie oben beschrieben die Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) bis Sie Vektor \( \vec{c} \) erhalten und prüfen Sie ihr Resultat.

Rechnerisch erhält man den Summenvektor, indem man die einzelnen Komponenten beider Vektoren addiert:

\( \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=\left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_x+b_x\\a_y+b_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c_x\\c_y\end{array}\right) \)

Überprüfen Sie ob das gemäss der oberen Zeichnung stimmt.

Übung 09:

Addieren Sie die folgenden Vektoren: \[ \vec{a}=\left(\begin{array}{c}-5\\7\end{array}\right), \ \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2\\-3\end{array}\right) \]

Punkte können auch durch ihren Abstand zum Ursprung (Radius) und den Winkel zur positiven x-Achse (Polarwinkel) in einem Polarkoordinatensystem beschrieben werden.

Diese Koordinaten des Punktes werden Polarkoordinaten genannt. Um die Polarkoordinaten von den kartesischen Koordinaten zu unterscheiden, verwendet man das Winkelzeichen:

Der Polarwinkel kann positiv im Gegenuhrzeigsinn oder negative im Uhrzeigersinn beschrieben werden. Üblicherweise nimmt man für den ersten und zweiten Quadranten den positiven Winkel und für den dritten und vierten Quadraten den negativen Winkel. Der Radius ist immer positiv.

Übung 06:

Zeichnen Sie die folgende Punkte auf ein Blattpapier: \[ P_1(1.5\angle45°), \ P_2(2\angle-120°), \] \[ \ P_3(1\angle-180°), \ P_4=(1\angle180°) \]

Die Polarkoordinaten müssen oft in kartesischen Koordinaten umgerechenet werden. Die beiden kartesische Koordinaten erhält man durch die Trigonometrie.

Probieren Sie es selber, verschieben Sie den Punkt und beobachten Sie die Berechnung der kartesischen Koordinaten. Rechnen Sie gegebenfalls nach.

Übung 07:

Rechnen Sie die Polarkoordinaten in die kartesischen Koordinaten um: \[ P_1(7\angle15°), \ P_2=(12\angle-35°) \]

Die kartesischen Koordinaten kann man auch in Polarkoordinaten umrechnen. Dabei ist die Umrechnung für den Radius relativ einfach:

Etwas anspruchsvoller ist die Berechnung des Winkels. Die Berechnung ist nämlich davon abhängig, welche Vorzeichen die kartesischen Koordinaten haben. Man muss die folgende Fallunterscheidung machen:

für x > 0

für x < 0 und y ≥ 0

für x < 0 und y < 0

für x = 0 und y > 0

für x = 0 und y < 0

Probieren Sie es selber, verschieben Sie den Punkt und beobachten Sie die Berechnung des Winkels. Rechnen Sie gegebenfalls nach.

Übung 08:

Rechnen Sie die Komponenten des kartesischen Koordinatensystems in Polarkoordinaten um: \[ P_1(7, \ 3), \ P_2(-2, \ 9) P_3(-7, \ -3), \ P_4(0, \ 1) \]